ARIMA FORECASTING and CONTROL: Introducción

Estimados amigos en esta ocasión escribo para presentaros un documento que estoy elaborando sobre modelización predictiva de modelos ARIMA. Será un curso que impartiré y que se dará a conocer próximamente. Es algo que desde siempre que conocí este tipo de modelización y a lo largo de mis años de estudio he estado "maquinando". Por lo que os dejo con la Introducción:

" Desde el comienzo de la historia del ser humano siempre ha presentado la inquietud de tratar de predecir el futuro, de este modo poder adelantarse en el tiempo. Los textos mitológicos de los antiguos egipcios contienen pasajes relacionados con los fenómenos astronómicos. Se sabe que como parte de su Cosmología, los egipcios crearon calendarios que señalaban cuáles eran los días favorables y los desfavorables, aunque no siempre ha quedado claro en qué conocimientos o acontecimientos estaban basadas estas predicciones. Recientemente, el estudio de uno de los calendarios egipcios mejor conservados, el Calendario de El Cairo, ha demostrado que dichas predicciones podrían estar basadas en los ciclos de la estrella “binaria Algol” y de la luna.

Como indica el profesor Javier Fernandez Macho, catedrático de la Universidad del País Vasco, el matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier determinó que “cualquier función de tiempo (determinista, sin error) podría ser descrita mediante sumatorios infinitas de ondas sinusoidales (ondas seno-coseno). La serie de Fourier fue desarrollada cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió las series sistemáticamente, publicando sus resultados iniciales entre 1807 y 1811 A veces se le llama a su área de investigación “análisis armónico”.

Posteriormente se encuentran las contribuciones de Yule y Slutsky, que analizaron el papel de las perturbaciones estocásticas en la configuración cíclica de las series temporales.

Yule (1926) abordó primeramente la existencia de correlaciones espurias (‘sin sentido’ según su terminología) entre series temporales económicas, concluyendo que eran debidas a la dependencia temporal de las observaciones y a que el período observado no era lo suficientemente largo como para desvelar la ausencia de relación real entre las series. A continuación analizó (Yule , 1927) la influencia de errores de medida y de perturbaciones exógenas sobre el comportamiento cíclico las series temporales, constatando que podían alterar su representación gráfica y enmascarar su perfil cíclico. Finalmente, se planteó cómo estimar la estructura cíclica subyacente en presencia de errores y perturbaciones, concluyendo con su propuesta de estimar un modelo autorregresivo, en el que las perturbaciones constituían la fuente de variación y en el que el comportamiento cíclico vendría determinado por las raíces del polinomio autorregresivo.

Yule, introdujo el proceso autorregresivo de orden 1, pero es Walker cuando generaliza el proceso autorregresivo hasta de orden p aproximadamente en 1931

Casi simultáneamente Slutsky (1927) con su publicación “The Summation of Ramdom Causes as a Source of Cyclic Processes” demostró experimentalmente, que se puede generar una serie temporal, con un comportamiento cíclico muy similar al de series económicas observadas, mediante la acumulación ponderada de números aleatorios (perturbaciones), esto es, mediante un proceso de media móvil.

"Esa fue una gran idea", dijo Robert Lucas, un economista de la Universidad de Chicago que fue pionero en la teoría del ciclo económico moderno, en una entrevista. "Fue un gran salto de lo que alguien había hecho".

Los hallazgos de Yule y Slutsky tuvieron repercusión en un doble frente, en primer lugar sobre los analistas del ciclo y sus métodos de análisis, como en el caso del modelo dinámico diseñado por Frisch (1933) para tratar de reproducir el comportamiento cíclico observado en las series económicas. En segundo lugar, pero no por ello menos importante, sus contribuciones fueron el punto de partida de Wold (1938) para establecer los fundamentos probabilísticos del Análisis de Series Temporales para procesos estacionarios con sus movimientos cíclicos y de Quenouille (1957) para proponer los modelos ARMA.

Como indica Gerhard Tintner,Jati K. Sengupta , “muchos problemas estadísticos son procesos estotásticos (Barlett, 1961, Fisz, 1963) son conocidos como análisis de series (ver Tintner, 1952, 1968; Hannan, 1960, Davis, 1941; Granger y Hatanaka, 1964; grenander and Rosenblatt, 1957; Quenouille, 1957; Whittle 1963)”

Sobre esa base Box y Jenkins (1970) formularon y popularizaron la modelización de series temporales en el contexto de los modelos ARIMA (p,d,q), que constituyen una extensión de los modelos ARMA ( p,q) a procesos no estacionarios e integrados de orden d (número de raíces unitarias), denotando p el grado del polinomio autorregresivo y q el del polinomio de media móvil.

El objetivo de este enfoque es proporcionar una representación adecuada, lo más simple posible (principio de parametrización escueta o parsimonia), del proceso generador de las series (PGD), con objeto de caracterizarlas, realizar predicciones y, en su caso, llevar a cabo ejercicios de control.

Una serie temporal quedará caracterizada cuando se conozcan las características del proceso generador de datos. El problema que presentan las series temporales en economía es que los procesos ocurren en un instante de tiempo, haciendo que la muestra sea una realización del proceso estocástico. Por ejemplo: el dato del paro del segundo trimestre de 2017 únicamente ocurre una vez, por lo que sería una muestra de tamaño uno.

El análisis de las series temporales es un campo de especialización inicialmente Estadística, pero que debido a su gran aplicabilidad a otros campos ha propiciado que los económetras. La importancia ha sido de tal calado que en 2003 que las investigaciones de Robert Engle y Clive Granger recibieran el Premio Nobel en Economía revolucionando de nuevo el uso de las series temporales en el análisis econométrico.

Como indican Box y Jenkins en su manual, una serie temporal es una secuencia de observaciones tomadas secuencialmente en el tiempo. Muchos conjuntos de datos son tomados a lo largo del tiempo como pudieran ser: las tasas mensuales de desempleo; el número de accidentes de coche semanales, etc. Cantidad de series que tienen su interés en campos como la ingeniería, economía, ciencias o ciencias sociales. Una característica intrínseca de estas series es la dependencia con respecto a periodos anteriores, y para analizarlas se utilizan técnicas de dependencia. Requiriendo un enfoque estocástico y dinámico utilizado en múltiples áreas.

En el año 1993 el profesor José María Otero, con la ayuda inestimable del profesor Francisco Trujillo Aranda, ambos catedráticos de la Universidad de Málaga: “La Econometría es una ciencia moderna (los primeros manuales datan de hace poco más de 20 años) y en constante evolución. Dentro del amplio espectro de temas que abarca actualmente la Econometría, merecen especial atención las técnicas y modelos que utilizan información fechada (series temporales); no hay que olvidar que una de las finalidades, por excelencia, de los modelos econométricos es la realización de predicciones y simulaciones, en las que el tiempo desempeña un papel esencial.”

Como el lector puede observar desde los primeros modelos datados de los antiguos egipcios hasta nuestros días el objetivo de tratar de predecir el futuro por parte del hombre es una asignatura pendiente y que no cabe duda que lo seguirá siendo mientras el hombre se encuentre en situaciones de incertidumbre, tratándose de adelantar a estas situaciones."

Si te ha gustado y te interesaría información sobre el curso, puedes contactar aquí

Saludos.

Miguel Ángel Ruiz Reina